МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ПОВЕРХНОСТИ МЕМБРАНЫ ПРИ ТОЧЕЧНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ 

Коробейников А.Г., Калинкина М.Е., Ткалич В.Л., Пирожникова О.И., Гришенцев А.Ю. Моделирование состояния поверхности мембраны при точечном воздействии // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2020. Т. 1. № 1. С. 155–161. doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-1-155-161

Предмет исследования. Рассмотрена задача нахождения аналитического решения математической модели и компьютерного моделирования процесса влияния сосредоточенного механического воздействия в заданной точке нагружаемого упругого тела. Предложены адекватные математическая модель и метод, обеспечивающие минимальное время решения на компьютере. В качестве объекта исследования выбрана абстрагированная прямоугольная однородная пластина-полоса с закрепленными краями, нагружаемая сосредоточенным воздействием и имеющая пренебрежимо малую жесткость на изгиб. Абстракция заключается в концентрации основных свойств мембраны в одном параметре — скорости распространения упругих волн с отсутствием учета их затухания. Математическая модель объекта включает в себя однородное двумерное волновое уравнение с неоднородными начальными и однородными граничными условиями. Сосредоточенное воздействие задавалось в начальных условиях при помощи дельта-функции Дирака. Метод. Представленное математическое решение выполнено с применением метода Фурье и учитывает ортогональность в пространстве l2 синусоидальных функций, свойств дельта-функций Дирака и нулевые граничные условия. Решение обеспечивает минимальное время вычисления с применением компьютерных программ. Основные результаты. Представлен процесс вывода аналитического решения для выбранной математической модели сосредоточенного воздействия в конкретной точке прямоугольной однородной пластины-полосы с закрепленными краями. Представленное решение легко реализуется на программном уровне. Модель позволяет исследовать поведение объекта при различных входных данных. Компьютерное моделирование выполнено с применением системы компьютерной алгебры Maple. Результаты моделирования влияния заданного точечного воздействия на конкретную однородную мембрану-полосу пред- ставлены в графическом виде. Показано изменение состояний поверхности мембраны в течение времени в случае нахождения точки воздействия не в центре мембраны. Практическая значимость. Представленное аналитическое решение позволяет фактически в режиме реального времени исследовать динамику состояний поверхности мембраны под воздействием известной нагрузки в зависимости от входных данных. В процессе моделирования отсутствует необходимость поиска решения двумерного волнового уравнения.

1. Боговский М.Е. Уравнения математической физики: учебное пособие. М.: МФТИ, 2019. 106 с.
2. Биджиев Р.Х., Шумилова Е.Ю. Дельта-функция Дирака: элементы теории обобщенных функций // Университетская наука. 2019. № 2(8). С. 124–127.
3. Özcağ E. On powers of the compositions involving Dirac-delta and infinitely differentiable functions // Results in Mathematics. 2018. V. 73. N 1. P. 6. doi: 10.1007/s00025-018-0766-0
4. Троенко С.Ю., Поваляев П.П. Разработка методов демпфирования колебаний с помощью точечных стационарных демпферов. Часть 2. Колебания плоской мембраны // Системный администратор. 2018. № 7-8(188-189). С. 110–115.
5. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; под ред. Э.И. Григолюка. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
6. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М.: Машиностроение, 1981. 391 с.
7. Лукин А.В., Попов И.А., Скубов Д.Ю. Нелинейная динамика и устойчивость элементов микросистемной техники // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 6. С. 1107–1115. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-6-1107-1115
8. Bouchaala A., Nayfeh A.H., Jaber N., Younis M.I. Mass and position determination in MEMS mass sensors: a theoretical and an experimental investigation // Journal of Micromechanics and Microengineering. 2016. V. 26. N 10. P. 105009. doi: 10.1088/0960-1317/26/10/105009
9. Kubenko V.D., Yanchevskiy I.V. Active damping of nonstationary vibrations of a rectangular plate under impulse loading // Journal of Vibration and Control. 2013. V. 19. N 10. P. 1514–1523. doi: 10.1177/1077546312446625
10. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Декомпозиция n-мерных цифровых сигналов по базису прямоугольных всплесков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 4(80). С. 75–79.
11. Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. СПб: НИУ ИТМО, 2014. 100 с.
12. Коробейников А.Г. Проектирование и исследование математических моделей в средах MATLAB и Maple. СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. 160 с.
13. Коробейников А.Г., Кутузов И.М. Алгоритм обфускации // NB: Кибернетика и программирование. 2013. № 3. С. 1–8. doi: 10.7256/2306-4196.2013.3.935
14. Лабковская Р.Я., Козлов А.С., Пирожникова О.И., Коробейников А.Г., Моделирование динамики чувствительных элементов герконов систем управления // NB: Кибернетика и программиро- вание. 2014. № 5. С. 70–77. doi: 10.7256/2306-4196.2014.5.13309
15. Богатырев В.А., Богатырев С.В. Своевременность обслуживания в многоуровневых кластерных системах с поэтапным уничтожением просроченных запросов // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2018. № 2(164). С. 28–35. doi: 10.14489/vkit.2018.02.pp.028-035
16. Богатырев В.А., Богатырев С.В. Многоэтапное обслуживание запросов, критичных к задержкам ожидания, в многоуровневых системах // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 5(111). С. 872–878. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-5-872-878
 

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License